Математика для чайников
- Автор темы Денчик
- Дата начала
Числа
Число – это некоторая сущность, обозначающая количество каких-нибудь предметов. Примеры: два яблока, пять ложек, десять книг, сто рублей, семь тюльпанов. Каждый день мы обращаемся к числам порой даже не замечая этого.
Первое время, когда люди обучались грамоте и расчётам, число предметов изображали с помощью палочек:
Один предмет изображали как |
Два предмета как | |
Три предмета как | | |
Затем люди поняли, что большое число предметов палочками не изобразить и заменили эти палочки цифрами.
Сегодня в математике числа обозначаются с помощью цифр. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры отпугивают большинство школьников и студентов, поскольку ассоциируются с математикой и «страшными формулами». На самом деле ничего страшного нет. Цифры это просто набор символов, которые предназначены для обозначения чисел. Проще говоря, для обозначения количества предметов.
На этом всё. Вводный урок по числам завершён. В будущем мы изучим его намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.
Число – это некоторая сущность, обозначающая количество каких-нибудь предметов. Примеры: два яблока, пять ложек, десять книг, сто рублей, семь тюльпанов. Каждый день мы обращаемся к числам порой даже не замечая этого.
Первое время, когда люди обучались грамоте и расчётам, число предметов изображали с помощью палочек:
Один предмет изображали как |
Два предмета как | |
Три предмета как | | |
Затем люди поняли, что большое число предметов палочками не изобразить и заменили эти палочки цифрами.
Сегодня в математике числа обозначаются с помощью цифр. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры отпугивают большинство школьников и студентов, поскольку ассоциируются с математикой и «страшными формулами». На самом деле ничего страшного нет. Цифры это просто набор символов, которые предназначены для обозначения чисел. Проще говоря, для обозначения количества предметов.
На этом всё. Вводный урок по числам завершён. В будущем мы изучим его намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.
Основные операции
Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление.
Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения такие как: равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).
Вообще, операции можно разделить на два вида:
Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:
Примеров отношений множество. Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.
Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В данном примере число 3 меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения направлен в сторону числа 3.
Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:
11 < 15
В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.
Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается так:
Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо a и b могут стоять любые числа. Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.
Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.
Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо привычных для нас чисел, знáком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.
Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг». Ведь 20 кг = 10 кг + 10 кг.
Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.
Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:
отличник ≠ двоечник
собака ≠ кошка
мандарин ≠ апельсин
Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.
Операция сложения
Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.
Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.
Например, сложим числа 3 и 2.
Записываем 3 + 2 = 5
В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.
В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.
Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:
2 + 2 = 4
3 + 4 = 7
7 + 2 = 9
0 + 7 = 7
Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего постыдного в этом нет.
Операция вычитания
Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется когда из одного числа вычитают другое.
Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется разностью.
Например, вычтем из числа 10 число 2.
10 − 2 = 8
В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.
Операция умножения
Обозначается знаком умножения (×) и используется когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть мнóжится.
Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.
Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.
Например, умножим число 4 на 3.
4 × 3 = 12
В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.
Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:
Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок:
Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз.
Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:
4 конф. × 1 = 4 конф.
У нас в руках окажется четыре конфеты.
Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:
4 конф × 2 = 8 конф.
У нас в руках окажется восемь конфет.
Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:
4 × 0 = 0
У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.
В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители. Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.
В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют таблицей умножения. Если вы живёте в России или в странах бывшего СССР, то наверняка знаете эту таблицу наизусть. Если не знаете, обязательно выучите!
Операция деления
Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется когда делят числа.
Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется частным.
Например, разделим число 10 на 2.
10 : 2 = 5
В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.
Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две равные части, то в каждой части полýчится по пять конфет:
Так можно понять смысл записи 10 : 2 = 5.
Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление.
Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения такие как: равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).
Вообще, операции можно разделить на два вида:
- операции действия;
- операции отношения.
- сложение (+)
- вычитание (-)
- умножение (×)
- деление ( ÷ ).
- равно (=)
- больше (>)
- меньше (<)
- больше или равно (≥)
- меньше или равно (≤)
- не равно (≠).
- Операции отношения
- Операция сложения
- Операция вычитания
- Операция умножения
- Операция деления
- Задания для самостоятельного решения
Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:
Примеров отношений множество. Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.
Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В данном примере число 3 меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения направлен в сторону числа 3.
Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:
11 < 15
В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.
Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается так:
Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо a и b могут стоять любые числа. Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.
Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.
Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо привычных для нас чисел, знáком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.
Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг». Ведь 20 кг = 10 кг + 10 кг.
Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.
Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:
отличник ≠ двоечник
собака ≠ кошка
мандарин ≠ апельсин
Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.
Операция сложения
Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.
Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.
Например, сложим числа 3 и 2.
Записываем 3 + 2 = 5
В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.
В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.
Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:
2 + 2 = 4
3 + 4 = 7
7 + 2 = 9
0 + 7 = 7
Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего постыдного в этом нет.
Операция вычитания
Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется когда из одного числа вычитают другое.
Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется разностью.
Например, вычтем из числа 10 число 2.
10 − 2 = 8
В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.
Операция умножения
Обозначается знаком умножения (×) и используется когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть мнóжится.
Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.
Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.
Например, умножим число 4 на 3.
4 × 3 = 12
В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.
Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:
Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок:
Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз.
Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:
4 конф. × 1 = 4 конф.
У нас в руках окажется четыре конфеты.
Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:
4 конф × 2 = 8 конф.
У нас в руках окажется восемь конфет.
Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:
4 × 0 = 0
У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.
В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители. Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.
В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют таблицей умножения. Если вы живёте в России или в странах бывшего СССР, то наверняка знаете эту таблицу наизусть. Если не знаете, обязательно выучите!
Операция деления
Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется когда делят числа.
Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется частным.
Например, разделим число 10 на 2.
10 : 2 = 5
В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.
Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две равные части, то в каждой части полýчится по пять конфет:
Так можно понять смысл записи 10 : 2 = 5.
Выражения
Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.
Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.
Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:
Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.
Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.
Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:
a + 5
Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5
a = 5
Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.
Значение переменной a подставляется в исходное выражение.
В результате имеем: 5 + 5 = 10
Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.
В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.
Значение переменной x подставляется в выражение x + 10
Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.
Вспомним второй урок «Основные операции». Чтобы понять сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7 и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но можно было понять эту тему и без примера, если бы мы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с.
Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и можно было сказать, что a и b — это слагаемые, c — сумма.
И далее имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того какие числа будут подставлены вместо a и b
В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.
Решение:
a + b = c
10 + 6 = 16
Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.
Значение выражения
Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия.
В учебниках младших классов часто можно встретить задания такого содержания: выполнить действия, и далее приводятся примеры, которые нужно решить. Когда перед нами подобное задание, мы сразу должны понимать, что от нас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но более правильно надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.
Например, если дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения, это означает что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:
10 + 6 = 16
Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.
Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.
Рассмотрим еще примеры:
Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4
Показать решение
Задание 2. Найдите значение выражения a + 3 при a = 7
Показать решение
Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10
Показать решение
Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20
Показать решение
Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5
Показать решение
Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.
Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.
Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:
Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.
Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.
Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:
a + 5
Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5
a = 5
Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.
Значение переменной a подставляется в исходное выражение.
В результате имеем: 5 + 5 = 10
Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.
В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.
Значение переменной x подставляется в выражение x + 10
Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.
Вспомним второй урок «Основные операции». Чтобы понять сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7 и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но можно было понять эту тему и без примера, если бы мы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с.
Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и можно было сказать, что a и b — это слагаемые, c — сумма.
И далее имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того какие числа будут подставлены вместо a и b
В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.
Решение:
a + b = c
10 + 6 = 16
Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.
Значение выражения
Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия.
В учебниках младших классов часто можно встретить задания такого содержания: выполнить действия, и далее приводятся примеры, которые нужно решить. Когда перед нами подобное задание, мы сразу должны понимать, что от нас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но более правильно надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.
Например, если дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения, это означает что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:
10 + 6 = 16
Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.
Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.
Рассмотрим еще примеры:
- 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
- 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
- 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5
Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4
Показать решение
Задание 2. Найдите значение выражения a + 3 при a = 7
Показать решение
Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10
Показать решение
Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20
Показать решение
Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5
Показать решение
Замены в выражениях
Любое число в выражении может быть заменено таким же числом, но записанным в другой форме. Возьмём для примера следующее выражение, которое уже вычислено:
15 + 3 = 18
Давайте заменим число 15 на само себя, но запишем его в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 18
Видно, что мы заменили число 15 на выражение в скобках (10 + 5). Но главное выражение 15 + 3 = 18 не изменило своего значения, поскольку 15 и (10 + 5) это одно и то же. Ведь 10 + 5 = 15.
Заменим число 18 на само себя, но запишем его в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 3 × 6
Теперь заменим последнюю шестёрку на неё же саму, но опять же запишем её в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3
Теперь сравним два выражения: первое, которое у нас было и новое, которое мы видоизменили:
15 + 3 = 18
(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3
На первый взгляд покажется, что это два разных выражения. И так подумает любой, кто увидит эти два выражения в первый раз. Но мы знаем, что это одно и то же выражение. Отличие в том, что мы видоизменили некоторые его параметры.
Изменять внешний вид этого выражения можно хоть до бесконечности. Главное, чтобы не нарушалось равенство. Значок равенства (=) должен оправдывать своё положение. Помните второй урок? — знак равенства ставится между числами или выражениями тогда, когда они равны между собой.
Такие действия, когда одно число или выражение заменяется на само себя, но записанное в другом виде, называют преобразованием выражения или представлением выражения.
Содержание урока
Любое число или выражение можно представить в виде суммы. Например, число 10 можно представить в виде суммы 5 + 5 или 7 + 3 или 8 + 2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом и представленной суммой. Выглядеть это может следующим образом:
10 = 5 + 5
10 = 7 + 3
10 = 8 + 2
10 = 6 + 4
В учебниках по математике можно встретить задания такого содержания: представьте в виде суммы и далее приводятся числа или выражения, которые нужно представить в виде суммы. Это как раз тот случай, когда надо включить свои творческие способности и решить какие из чисел или выражений можно использовать для решения задачи.
Представление в виде разности
С прошлых уроков известно, что разность это результат, который получается в результате вычитания одного числа из другого. Но разностью также называется выражение, которое соединено знаком вычитания (−). Например следующие выражения являются разностями:
15 – 5
10 – 6
20 – 10
Любое число можно представить в виде разности. Например, число 50 можно представить в виде разности 90 − 40 или 80 − 30 или 60 − 10. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 50 и представленной разностью. Выглядеть это может следующим образом:
50 = 90 − 40
50 = 80 − 30
50 = 60 − 10
Представление в виде произведения
С прошлых уроков известно, что произведение это результат, который получается в результате умножения одного числа на другое. Но произведением также называется выражение, которое соединено знаком умножения (×). Например следующие выражения являются произведениями:
3 × 2
15 × 2
12 × 3
Любое число можно представить в виде произведения. Например, число 30 можно представить в виде произведения 5 × 6 или 10 × 3 или 15 × 2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 30 и представленным произведением. Выглядеть это может следующим образом:
30 = 5 × 6
30 = 10 × 3
30 = 15 × 2
Представление в виде частного
С прошлых уроков известно, что частное это результат, который получается в результате деления одного числа на другое. Но частным также называется выражение, которое соединено знаком деления ( : ). Например, следующие выражения являются частными:
15 : 5
30 : 6
12 : 4
Любое число можно представить в виде частного. Например, число 5 можно представить в виде частного 15 : 3 или 25 : 5 или 30 : 6. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 5 и представленным частным. Выглядеть это может следующим образом:
5 = 15 : 3
5 = 25 : 5
5 = 30 : 6
На этом данный урок завершён. Для закрепления материала, попробуйте выполнить следующие задания:
Задание 1. Представьте в виде суммы следующие числа: 20, 30, 45, 50. Можете представить любыми числами. Например, первое число 20 можно представить как 15 + 5.
Задание 2. Представьте в виде разности следующие числа: 10, 15, 12, 5 Можете представить любыми числами. Например, первое число можно представить как 15 − 5.
Задание 3. Представьте в виде произведения следующие числа: 30, 40, 72.
Задание 4. Представьте в виде частного следующие числа: 7, 5, 9, 3
Любое число в выражении может быть заменено таким же числом, но записанным в другой форме. Возьмём для примера следующее выражение, которое уже вычислено:
15 + 3 = 18
Давайте заменим число 15 на само себя, но запишем его в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 18
Видно, что мы заменили число 15 на выражение в скобках (10 + 5). Но главное выражение 15 + 3 = 18 не изменило своего значения, поскольку 15 и (10 + 5) это одно и то же. Ведь 10 + 5 = 15.
Заменим число 18 на само себя, но запишем его в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 3 × 6
Теперь заменим последнюю шестёрку на неё же саму, но опять же запишем её в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3
Теперь сравним два выражения: первое, которое у нас было и новое, которое мы видоизменили:
15 + 3 = 18
(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3
На первый взгляд покажется, что это два разных выражения. И так подумает любой, кто увидит эти два выражения в первый раз. Но мы знаем, что это одно и то же выражение. Отличие в том, что мы видоизменили некоторые его параметры.
Изменять внешний вид этого выражения можно хоть до бесконечности. Главное, чтобы не нарушалось равенство. Значок равенства (=) должен оправдывать своё положение. Помните второй урок? — знак равенства ставится между числами или выражениями тогда, когда они равны между собой.
Такие действия, когда одно число или выражение заменяется на само себя, но записанное в другом виде, называют преобразованием выражения или представлением выражения.
Содержание урока
- Представление в виде суммы
- Представление в виде разности
- Представление в виде произведения
- Представление в виде частного
Любое число или выражение можно представить в виде суммы. Например, число 10 можно представить в виде суммы 5 + 5 или 7 + 3 или 8 + 2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом и представленной суммой. Выглядеть это может следующим образом:
10 = 5 + 5
10 = 7 + 3
10 = 8 + 2
10 = 6 + 4
В учебниках по математике можно встретить задания такого содержания: представьте в виде суммы и далее приводятся числа или выражения, которые нужно представить в виде суммы. Это как раз тот случай, когда надо включить свои творческие способности и решить какие из чисел или выражений можно использовать для решения задачи.
Представление в виде разности
С прошлых уроков известно, что разность это результат, который получается в результате вычитания одного числа из другого. Но разностью также называется выражение, которое соединено знаком вычитания (−). Например следующие выражения являются разностями:
15 – 5
10 – 6
20 – 10
Любое число можно представить в виде разности. Например, число 50 можно представить в виде разности 90 − 40 или 80 − 30 или 60 − 10. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 50 и представленной разностью. Выглядеть это может следующим образом:
50 = 90 − 40
50 = 80 − 30
50 = 60 − 10
Представление в виде произведения
С прошлых уроков известно, что произведение это результат, который получается в результате умножения одного числа на другое. Но произведением также называется выражение, которое соединено знаком умножения (×). Например следующие выражения являются произведениями:
3 × 2
15 × 2
12 × 3
Любое число можно представить в виде произведения. Например, число 30 можно представить в виде произведения 5 × 6 или 10 × 3 или 15 × 2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 30 и представленным произведением. Выглядеть это может следующим образом:
30 = 5 × 6
30 = 10 × 3
30 = 15 × 2
Представление в виде частного
С прошлых уроков известно, что частное это результат, который получается в результате деления одного числа на другое. Но частным также называется выражение, которое соединено знаком деления ( : ). Например, следующие выражения являются частными:
15 : 5
30 : 6
12 : 4
Любое число можно представить в виде частного. Например, число 5 можно представить в виде частного 15 : 3 или 25 : 5 или 30 : 6. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 5 и представленным частным. Выглядеть это может следующим образом:
5 = 15 : 3
5 = 25 : 5
5 = 30 : 6
На этом данный урок завершён. Для закрепления материала, попробуйте выполнить следующие задания:
Задание 1. Представьте в виде суммы следующие числа: 20, 30, 45, 50. Можете представить любыми числами. Например, первое число 20 можно представить как 15 + 5.
Задание 2. Представьте в виде разности следующие числа: 10, 15, 12, 5 Можете представить любыми числами. Например, первое число можно представить как 15 − 5.
Задание 3. Представьте в виде произведения следующие числа: 30, 40, 72.
Задание 4. Представьте в виде частного следующие числа: 7, 5, 9, 3
Разряды для начинающих
Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь малую часть этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.
Сегодня мы продолжим тему чисел, но опять же не будем рассматривать её всю, чтобы не затруднять обучение лишней информацией, которая на первых порах не особо-то и нужна. Мы поговорим о разрядах.
Содержание урока
Если говорить простым языком, то разряд это позиция цифры в числе или место, где располагается цифра. Возьмём для примера число 635. Это число состоит из трёх цифр: 6, 3 и 5.
Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается цифра 5, на второй позиции – цифра 3, на третьей позиции – цифра 6.
Позиция, где располагается цифра 5, называется разрядом единиц
Позиция, где располагается цифра 3, называется разрядом десятков
Позиция, где располагается цифра 6, называется разрядом сотен
Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни». Разряды помимо того что играют роль позиции цифры в числе, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен.
Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц располагается пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что разряд единиц содержит пять единичек. Выглядит это так:
В разряде десятков располагается тройка. Это говорит о том, что разряд десятков содержит три десятка. Выглядит это так:
В разряде сотен располагается шестёрка. Это говорит о том, что в разряде сотен располагаются шесть сотен. Выглядит это так:
Если сложить число получившихся единиц, число десятков и число сотен, то получим наше изначальное число 635
Существуют и более старшие разряды такие как разряд тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч, разряд миллионов и так далее. Такие большие числа мы будем рассматривать редко, но тем не менее о них тоже желательно знать.
Например, в числе 1 645 832 разряд единиц содержит 2 единицы, разряд десятков — 3 десятка, разряд сотен — 8 сотен, разряд тысяч — 5 тысяч, разряд десятков тысяч — 4 десятка тысяч, разряд сотен тысяч — 6 сотен тысяч, разряд миллионов — 1 миллион.
На первых этапах изучения разрядов желательно разбираться сколько единиц, десятков, сотен содержит то или иное число. К примеру, число 9 содержит 9 единиц. Число 12 содержит две единицы и один десяток. Число 123 содержит три единицы, два десятка и одну сотню.
Группировка предметов
После подсчета каких-нибудь предметов, разряды можно использовать для группировки этих предметов. К примеру, если мы насчитали во дворе 35 кирпичей, то можно использовать разряды для группировки этих кирпичей. В случае группировки предметов, разряды можно читать слева направо. Так, цифра 3 в числе 35 будет говорить о том, что в числе 35 содержатся три десятка. А это значит, что 35 кирпичей можно сгруппировать три раза по десять штук.
Итак, сгруппируем кирпичи три раза по десять штук:
Получилось тридцать кирпичей. Но осталось еще пять единиц кирпичей. Их мы назовем как «пять единиц»
Получилось три десятка и пять единиц кирпичей.
А если бы мы не стали группировать кирпичи на десятки и единицы, то можно было бы сказать, что число 35 содержит тридцать пять единиц. Такая группировка тоже была бы допустимой:
Аналогично можно рассуждать и про другие числа. К примеру, о числе 123. Ранее мы сказали, что это число содержит три единицы, два десятка и одну сотню. Но можно ещё сказать, что это число содержит 123 единицы. Более того, можно сгруппировать это число и другим образом, сказав что оно содержит 12 десятков и 3 единицы.
Слова единицы, десятки, сотни, заменяют собой множимые 1, 10 и 100. К примеру, в разряде единиц числа 123 располагается цифра 3. С помощью множимого 1 можно записать, что эта единица содержится в разряде единиц три раза:
1 × 3 = 3
Далее в разряде десятков числа 123 располагается цифра 2. С помощью множимого 10 можно записать, что эта десятка содержится в разряде десятков два раза:
10 × 2 = 20
Далее в разряде сотен числа 123 располагается цифра 1. С помощью множимого 100 можно записать, что эта сотня содержится в разряде сотен один раз:
100 × 1 = 100
Если сложить полученные результаты 3, 20 и 100, то получим число 123
3 + 20 + 100 = 123
То же самое будет происходить если мы скажем, что число 123 содержит 12 десятков и 3 единицы. Другими словами, десятки будут сгруппированы 12 раз:
10 × 12 = 120
А единицы три раза:
1 × 3 = 3
Это можно понять на следующем примере. Если имеется 123 яблока, то можно сгруппировать первые 120 яблок 12 раз по 10 штук:
Получилось сто двадцать яблок. Но осталось еще три яблока. Их мы назовем как «три единицы»
Если сложить полученные результаты 120 и 3, снова получим число 123
120 + 3 = 123
Ещё можно сгруппировать 123 яблока на одну сотню, два десятка и три единицы.
Сгруппируем сотню:
Сгруппируем два десятка:
Сгруппируем три единицы:
Если сложить полученные результаты 100, 20 и 3, снова получим число 123
100 + 20 + 3 = 123
Ну и наконец, рассмотрим последнюю возможную группировку, где яблоки не будут распределяться на десятки и сотни, а будут собраны вместе. В таком случае число 123 будет читаться как «сто двадцать три единицы». Такая группировка тоже будет допустимой:
1 × 123 = 123
Пример 3. Прочитать число 523 всеми возможными способами.
Число 523 можно прочесть, как 3 единицы, 2 десятка и 5 сотен:
1 × 3 = 3 (три единицы)
10 × 2 = 20 (два десятка)
100 × 5 = 500 (пять сотен)
3 + 20 + 500 = 523
Ещё можно прочесть, как 3 единицы 52 десятка:
1 × 3 = 3 (три единицы)
10 × 52 = 520 (пятьдесят два десятка)
3 + 520 = 523
Ещё число 523 можно прочесть, как 523 единицы:
1 × 523 = 523 (пятьсот двадцать три единицы)
Где применить разряды?
Разряды существенно облегчают некоторые вычисления. Представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить, выглядит следующим образом:
Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро записать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Начинать нужно с разряда единиц. В первую очередь после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):
Теперь начинаем складывать. В разряде единиц числа 632 располагается цифра 2, а в разряде единиц числа 264 — цифра 4. Это означает, разряд единиц числа 632 содержит две единицы, а разряд единиц числа 264 содержит четыре единицы. Складываем 2 и 4 единицы — получаем 6 единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа (нашего ответа):
Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 632 располагается цифра 3, а в разряде десятков числа 264 — цифра 6. Это означает, что разряд десятков числа 632 содержит три десятка, а разряд десятков числа 264 содержит шесть десятков. Складываем 3 и 6 десятков — получаем 9 десятков. Записываем цифру 9 в разряде десятков нового числа (нашего ответа):
Ну и в завершении складываем отдельно сотни. В разряде сотен числа 632 располагается цифра 6, а в разряде сотен числа 264 — цифра 2. Это означает, что разряд сотен числа 632 содержит шесть сотен, а разряд сотен числа 264 содержит две сотни. Складываем 6 и 2 сотни, получаем 8 сотен. Записываем цифру 8 в разряде сотен нового числа (нашего ответа):
Таким образом, если к числу 632 прибавить 264, получается 896. Конечно, вы вычислите подобное выражение быстрее и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а на самом деле вы вычисляли маленькие. Согласитесь, что маленькие числа вычислять легче, чем большие.
Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь малую часть этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.
Сегодня мы продолжим тему чисел, но опять же не будем рассматривать её всю, чтобы не затруднять обучение лишней информацией, которая на первых порах не особо-то и нужна. Мы поговорим о разрядах.
Содержание урока
- Что такое разряд?
- Группировка предметов
- Где применить разряды?
- Переполнение разряда
- Сложение в столбик
- Вычитание в столбик
- Задания для самостоятельного решения
Если говорить простым языком, то разряд это позиция цифры в числе или место, где располагается цифра. Возьмём для примера число 635. Это число состоит из трёх цифр: 6, 3 и 5.
Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается цифра 5, на второй позиции – цифра 3, на третьей позиции – цифра 6.
Позиция, где располагается цифра 5, называется разрядом единиц
Позиция, где располагается цифра 3, называется разрядом десятков
Позиция, где располагается цифра 6, называется разрядом сотен
Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни». Разряды помимо того что играют роль позиции цифры в числе, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен.
Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц располагается пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что разряд единиц содержит пять единичек. Выглядит это так:
В разряде десятков располагается тройка. Это говорит о том, что разряд десятков содержит три десятка. Выглядит это так:
В разряде сотен располагается шестёрка. Это говорит о том, что в разряде сотен располагаются шесть сотен. Выглядит это так:
Если сложить число получившихся единиц, число десятков и число сотен, то получим наше изначальное число 635
Существуют и более старшие разряды такие как разряд тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч, разряд миллионов и так далее. Такие большие числа мы будем рассматривать редко, но тем не менее о них тоже желательно знать.
Например, в числе 1 645 832 разряд единиц содержит 2 единицы, разряд десятков — 3 десятка, разряд сотен — 8 сотен, разряд тысяч — 5 тысяч, разряд десятков тысяч — 4 десятка тысяч, разряд сотен тысяч — 6 сотен тысяч, разряд миллионов — 1 миллион.
На первых этапах изучения разрядов желательно разбираться сколько единиц, десятков, сотен содержит то или иное число. К примеру, число 9 содержит 9 единиц. Число 12 содержит две единицы и один десяток. Число 123 содержит три единицы, два десятка и одну сотню.
Группировка предметов
После подсчета каких-нибудь предметов, разряды можно использовать для группировки этих предметов. К примеру, если мы насчитали во дворе 35 кирпичей, то можно использовать разряды для группировки этих кирпичей. В случае группировки предметов, разряды можно читать слева направо. Так, цифра 3 в числе 35 будет говорить о том, что в числе 35 содержатся три десятка. А это значит, что 35 кирпичей можно сгруппировать три раза по десять штук.
Итак, сгруппируем кирпичи три раза по десять штук:
Получилось тридцать кирпичей. Но осталось еще пять единиц кирпичей. Их мы назовем как «пять единиц»
Получилось три десятка и пять единиц кирпичей.
А если бы мы не стали группировать кирпичи на десятки и единицы, то можно было бы сказать, что число 35 содержит тридцать пять единиц. Такая группировка тоже была бы допустимой:
Аналогично можно рассуждать и про другие числа. К примеру, о числе 123. Ранее мы сказали, что это число содержит три единицы, два десятка и одну сотню. Но можно ещё сказать, что это число содержит 123 единицы. Более того, можно сгруппировать это число и другим образом, сказав что оно содержит 12 десятков и 3 единицы.
Слова единицы, десятки, сотни, заменяют собой множимые 1, 10 и 100. К примеру, в разряде единиц числа 123 располагается цифра 3. С помощью множимого 1 можно записать, что эта единица содержится в разряде единиц три раза:
1 × 3 = 3
Далее в разряде десятков числа 123 располагается цифра 2. С помощью множимого 10 можно записать, что эта десятка содержится в разряде десятков два раза:
10 × 2 = 20
Далее в разряде сотен числа 123 располагается цифра 1. С помощью множимого 100 можно записать, что эта сотня содержится в разряде сотен один раз:
100 × 1 = 100
Если сложить полученные результаты 3, 20 и 100, то получим число 123
3 + 20 + 100 = 123
То же самое будет происходить если мы скажем, что число 123 содержит 12 десятков и 3 единицы. Другими словами, десятки будут сгруппированы 12 раз:
10 × 12 = 120
А единицы три раза:
1 × 3 = 3
Это можно понять на следующем примере. Если имеется 123 яблока, то можно сгруппировать первые 120 яблок 12 раз по 10 штук:
Получилось сто двадцать яблок. Но осталось еще три яблока. Их мы назовем как «три единицы»
Если сложить полученные результаты 120 и 3, снова получим число 123
120 + 3 = 123
Ещё можно сгруппировать 123 яблока на одну сотню, два десятка и три единицы.
Сгруппируем сотню:
Сгруппируем два десятка:
Сгруппируем три единицы:
Если сложить полученные результаты 100, 20 и 3, снова получим число 123
100 + 20 + 3 = 123
Ну и наконец, рассмотрим последнюю возможную группировку, где яблоки не будут распределяться на десятки и сотни, а будут собраны вместе. В таком случае число 123 будет читаться как «сто двадцать три единицы». Такая группировка тоже будет допустимой:
1 × 123 = 123
Пример 3. Прочитать число 523 всеми возможными способами.
Число 523 можно прочесть, как 3 единицы, 2 десятка и 5 сотен:
1 × 3 = 3 (три единицы)
10 × 2 = 20 (два десятка)
100 × 5 = 500 (пять сотен)
3 + 20 + 500 = 523
Ещё можно прочесть, как 3 единицы 52 десятка:
1 × 3 = 3 (три единицы)
10 × 52 = 520 (пятьдесят два десятка)
3 + 520 = 523
Ещё число 523 можно прочесть, как 523 единицы:
1 × 523 = 523 (пятьсот двадцать три единицы)
Где применить разряды?
Разряды существенно облегчают некоторые вычисления. Представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить, выглядит следующим образом:
Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро записать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Начинать нужно с разряда единиц. В первую очередь после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):
Теперь начинаем складывать. В разряде единиц числа 632 располагается цифра 2, а в разряде единиц числа 264 — цифра 4. Это означает, разряд единиц числа 632 содержит две единицы, а разряд единиц числа 264 содержит четыре единицы. Складываем 2 и 4 единицы — получаем 6 единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа (нашего ответа):
Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 632 располагается цифра 3, а в разряде десятков числа 264 — цифра 6. Это означает, что разряд десятков числа 632 содержит три десятка, а разряд десятков числа 264 содержит шесть десятков. Складываем 3 и 6 десятков — получаем 9 десятков. Записываем цифру 9 в разряде десятков нового числа (нашего ответа):
Ну и в завершении складываем отдельно сотни. В разряде сотен числа 632 располагается цифра 6, а в разряде сотен числа 264 — цифра 2. Это означает, что разряд сотен числа 632 содержит шесть сотен, а разряд сотен числа 264 содержит две сотни. Складываем 6 и 2 сотни, получаем 8 сотен. Записываем цифру 8 в разряде сотен нового числа (нашего ответа):
Таким образом, если к числу 632 прибавить 264, получается 896. Конечно, вы вычислите подобное выражение быстрее и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а на самом деле вы вычисляли маленькие. Согласитесь, что маленькие числа вычислять легче, чем большие.
Переполнение разряда
Разряд характеризуется одной цифрой от 0 до 9. Но иногда при вычислении числового выражения в середине решения может произойти переполнение разряда.
Например, при сложении чисел 32 и 14 переполнения не происходит. Сложение единиц этих чисел даст 6 единиц в новом числе. А сложение десятков этих чисел даст 4 десятка в новом числе. Получится ответ 46 или шесть единиц и четыре десятка.
А вот при сложении чисел 29 и 13 произойдёт переполнение. Сложение единиц этих чисел даёт 12 единиц, а сложение десятков 3 десятка. Если в новом числе в разряде единиц записать полученные 12 единиц, а в разряде десятков записать полученные 3 десятка, то получится ошибка:
Значение выражения 29 + 13 равно 42, а не 312. Как же следует поступать при переполнении? В нашем случае переполнение случилось в разряде единиц нового числа. При сложении девяти и трёх единиц у нас получилось 12 единиц. А в разряд единиц можно записывать только цифры в диапазоне от 0 до 9.
Дело в том, что 12 единиц это не просто «двенадцать единиц». По другому это число можно прочитать как «две единицы и один десяток». Разряд единиц предназначен только для единиц. Десяткам там не место. Здесь и заключается наша ошибка. Сложив 9 единиц и 3 единицы мы получили 12 единиц, которые по-другому можно назвать двумя единицами и одним десятком. Записав две единицы и один десяток в одном разряде, мы допустили ошибку, которая в итоге привела к неправильному ответу.
Чтобы исправить ситуацию, две единицы нужно записать в разряде единиц нового числа, а оставшийся десяток перенести на следующий разряд десятков. После сложения десятков в примере 29 + 13, мы прибавим к полученному результату тот десяток, который остался при сложении единиц.
Итак, из 12 единиц две единицы запишем в разряде единиц нового числа, а один десяток перенесем на следующий разряд
Как видно на рисунке, 12 единиц мы представили как 1 десяток и 2 единицы. Две единицы мы записали в разряде единиц нового числа. А один десяток перенесли к разрядам десятков. Этот десяток мы прибавим к результату сложения десятков чисел 29 и 13. Чтобы не забыть о нем, мы надписали его над десятками числа 29.
Теперь складываем десятки. Два десятка плюс один десяток будет три десятка, плюс один десяток, который остался от предыдущего сложения. В результате в разряде десятков получаем четыре десятка:
Пример 2. Сложить по разрядам числа 862 и 372.
Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 862 располагается цифра 2, в разряде единиц числа 372 — также цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 862 содержит две единицы, и разряд единиц числа 372 также содержит две единицы. Складываем 2 единицы плюс 2 единицы — получаем 4 единицы. Записываем цифру 4 в разряде единиц нового числа:
Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 862 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 372 — число 7. Это означает, что разряд десятков числа 862 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 372 содержит семь десятков. Складываем 6 десятков и 7 десятков — получаем 13 десятков. Произошло переполнение разряда. 13 десятков это десятка повторенная 13 раз. А если повторить десятку 13 раз, то получится число 130
10 × 13 = 130
Число 130 состоит из трех десятков и одной сотни. Три десятка мы запишем в разряде десятков нового числа, а одну сотню отправим на следующий разряд:
Как видно на рисунке, 13 десятков (число 130) мы представили как 1 сотню и 3 десятка. Три десятка мы записали в разряде десятков нового числа. А одну сотню перенесли к разрядам сотен. Эту сотню мы прибавим к результату сложения сотен чисел 862 и 372. Чтобы не забыть о ней, мы надписали её над сотнями числа 862.
Теперь складываем сотни. Восемь сотен плюс три сотни будет одиннадцать сотен плюс одна сотня, которая осталась от предыдущего сложения. В результате в разряде сотен получаем двенадцать сотен:
Здесь также происходит переполнение разряда сотен, но это не приводит к ошибке, поскольку решение завершено. При желании с 12 сотнями можно провести те же действия, что мы провели с 13 десятками.
12 сотен это сотня, повторенная 12 раз. А если повторить сотню 12 раз, то получится 1200
100 × 12 = 1200
В числе 1200 две сотни и одна тысяча. Две сотни записываются в разряд сотен нового числа, а одна тысяча перенеслась к разряду тысяч.
Теперь рассмотрим примеры на вычитание. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Вычитать тоже нужно по разрядам.
Пример 3. Вычесть из числа 65 число 12.
Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 65 располагается цифра 5, а в разряде единиц числа 12 — цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 65 содержит пять единиц, а разряд единиц числа 12 содержит две единицы. Вычтем из пяти единиц две единицы, получим три единицы. Записываем цифру 3 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. В разряде десятков числа 65 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 12 — цифра 1. Это означает, что разряд десятков числа 65 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 12 содержит один десяток. Вычтем из шести десятков один десяток, получим пять десятков. Записываем цифру 5 в разряде десятков нового числа:
Пример 4. Вычесть из числа 32 число 15
В разряде единиц числа 32 содержится две единицы, а в разряде единиц числа 15 — пять единиц. От двух единиц не вычесть пять единиц, поскольку две единицы меньше, чем пять единиц.
Сгруппируем 32 яблока так, чтобы в первой группе было три десятка яблок, а во второй — оставшиеся две единицы яблок:
Итак, нам нужно из этих 32 яблок вычесть 15 яблок, то есть вычесть пять единиц и один десяток яблок. Причем вычесть по разрядам.
От двух единиц яблок нельзя вычесть пять единиц яблок. Чтобы выполнить вычитание, две единицы должны взять несколько яблок у соседней группы (разряда десятков). Но нельзя брать сколько хочется, поскольку десятки строго упорядочены по десять штук. Разряд десятков может дать двум единицам только один целый десяток.
Итак, берём один десяток из разряда десятков и отдаём его двум единицам:
К двум единицам яблок теперь присоединился один десяток яблок. Получается 12 единиц яблок. А от двенадцати можно вычесть пять, получится семь. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. Поскольку разряд десятков отдал единицам один десяток, сейчас он имеет не три, а два десятка. Поэтому вычитаем из двух десятков один десяток. Останется один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:
Чтобы не забывать, что в каком-то разряде был взят один десяток (либо сотня либо тысяча), над этим разрядом принято ставить точку.
Разряд характеризуется одной цифрой от 0 до 9. Но иногда при вычислении числового выражения в середине решения может произойти переполнение разряда.
Например, при сложении чисел 32 и 14 переполнения не происходит. Сложение единиц этих чисел даст 6 единиц в новом числе. А сложение десятков этих чисел даст 4 десятка в новом числе. Получится ответ 46 или шесть единиц и четыре десятка.
А вот при сложении чисел 29 и 13 произойдёт переполнение. Сложение единиц этих чисел даёт 12 единиц, а сложение десятков 3 десятка. Если в новом числе в разряде единиц записать полученные 12 единиц, а в разряде десятков записать полученные 3 десятка, то получится ошибка:
Значение выражения 29 + 13 равно 42, а не 312. Как же следует поступать при переполнении? В нашем случае переполнение случилось в разряде единиц нового числа. При сложении девяти и трёх единиц у нас получилось 12 единиц. А в разряд единиц можно записывать только цифры в диапазоне от 0 до 9.
Дело в том, что 12 единиц это не просто «двенадцать единиц». По другому это число можно прочитать как «две единицы и один десяток». Разряд единиц предназначен только для единиц. Десяткам там не место. Здесь и заключается наша ошибка. Сложив 9 единиц и 3 единицы мы получили 12 единиц, которые по-другому можно назвать двумя единицами и одним десятком. Записав две единицы и один десяток в одном разряде, мы допустили ошибку, которая в итоге привела к неправильному ответу.
Чтобы исправить ситуацию, две единицы нужно записать в разряде единиц нового числа, а оставшийся десяток перенести на следующий разряд десятков. После сложения десятков в примере 29 + 13, мы прибавим к полученному результату тот десяток, который остался при сложении единиц.
Итак, из 12 единиц две единицы запишем в разряде единиц нового числа, а один десяток перенесем на следующий разряд
Как видно на рисунке, 12 единиц мы представили как 1 десяток и 2 единицы. Две единицы мы записали в разряде единиц нового числа. А один десяток перенесли к разрядам десятков. Этот десяток мы прибавим к результату сложения десятков чисел 29 и 13. Чтобы не забыть о нем, мы надписали его над десятками числа 29.
Теперь складываем десятки. Два десятка плюс один десяток будет три десятка, плюс один десяток, который остался от предыдущего сложения. В результате в разряде десятков получаем четыре десятка:
Пример 2. Сложить по разрядам числа 862 и 372.
Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 862 располагается цифра 2, в разряде единиц числа 372 — также цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 862 содержит две единицы, и разряд единиц числа 372 также содержит две единицы. Складываем 2 единицы плюс 2 единицы — получаем 4 единицы. Записываем цифру 4 в разряде единиц нового числа:
Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 862 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 372 — число 7. Это означает, что разряд десятков числа 862 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 372 содержит семь десятков. Складываем 6 десятков и 7 десятков — получаем 13 десятков. Произошло переполнение разряда. 13 десятков это десятка повторенная 13 раз. А если повторить десятку 13 раз, то получится число 130
10 × 13 = 130
Число 130 состоит из трех десятков и одной сотни. Три десятка мы запишем в разряде десятков нового числа, а одну сотню отправим на следующий разряд:
Как видно на рисунке, 13 десятков (число 130) мы представили как 1 сотню и 3 десятка. Три десятка мы записали в разряде десятков нового числа. А одну сотню перенесли к разрядам сотен. Эту сотню мы прибавим к результату сложения сотен чисел 862 и 372. Чтобы не забыть о ней, мы надписали её над сотнями числа 862.
Теперь складываем сотни. Восемь сотен плюс три сотни будет одиннадцать сотен плюс одна сотня, которая осталась от предыдущего сложения. В результате в разряде сотен получаем двенадцать сотен:
Здесь также происходит переполнение разряда сотен, но это не приводит к ошибке, поскольку решение завершено. При желании с 12 сотнями можно провести те же действия, что мы провели с 13 десятками.
12 сотен это сотня, повторенная 12 раз. А если повторить сотню 12 раз, то получится 1200
100 × 12 = 1200
В числе 1200 две сотни и одна тысяча. Две сотни записываются в разряд сотен нового числа, а одна тысяча перенеслась к разряду тысяч.
Теперь рассмотрим примеры на вычитание. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Вычитать тоже нужно по разрядам.
Пример 3. Вычесть из числа 65 число 12.
Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 65 располагается цифра 5, а в разряде единиц числа 12 — цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 65 содержит пять единиц, а разряд единиц числа 12 содержит две единицы. Вычтем из пяти единиц две единицы, получим три единицы. Записываем цифру 3 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. В разряде десятков числа 65 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 12 — цифра 1. Это означает, что разряд десятков числа 65 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 12 содержит один десяток. Вычтем из шести десятков один десяток, получим пять десятков. Записываем цифру 5 в разряде десятков нового числа:
Пример 4. Вычесть из числа 32 число 15
В разряде единиц числа 32 содержится две единицы, а в разряде единиц числа 15 — пять единиц. От двух единиц не вычесть пять единиц, поскольку две единицы меньше, чем пять единиц.
Сгруппируем 32 яблока так, чтобы в первой группе было три десятка яблок, а во второй — оставшиеся две единицы яблок:
Итак, нам нужно из этих 32 яблок вычесть 15 яблок, то есть вычесть пять единиц и один десяток яблок. Причем вычесть по разрядам.
От двух единиц яблок нельзя вычесть пять единиц яблок. Чтобы выполнить вычитание, две единицы должны взять несколько яблок у соседней группы (разряда десятков). Но нельзя брать сколько хочется, поскольку десятки строго упорядочены по десять штук. Разряд десятков может дать двум единицам только один целый десяток.
Итак, берём один десяток из разряда десятков и отдаём его двум единицам:
К двум единицам яблок теперь присоединился один десяток яблок. Получается 12 единиц яблок. А от двенадцати можно вычесть пять, получится семь. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. Поскольку разряд десятков отдал единицам один десяток, сейчас он имеет не три, а два десятка. Поэтому вычитаем из двух десятков один десяток. Останется один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:
Чтобы не забывать, что в каком-то разряде был взят один десяток (либо сотня либо тысяча), над этим разрядом принято ставить точку.
Пример 5. Вычесть из числа 653 число 286
В разряде единиц числа 653 содержится три единицы, а в разряде единиц числа 286 — шесть единиц. От трёх единиц не вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:
Взятый один десяток и три единицы вместе образуют тринадцать единиц. От тринадцати единиц можно вычесть шесть единиц, получится семь единиц. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. Раньше разряд десятков числа 653 содержал пять десятков, но мы взяли с него один десяток, и теперь в разряде десятков содержатся четыре десятка. Из четырех десятков не вычесть восемь десятков, поэтому берем одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню:
Взятая одна сотня и четыре десятка вместе образуют четырнадцать десятков. От четырнадцати десятков можно вычесть восемь десятков, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нового числа:
Теперь вычитаем сотни. Раньше разряд сотен числа 653 содержал шесть сотен, но мы взяли с него одну сотню, и теперь в разряде сотен содержатся пять сотен. Из пяти сотен можно вычесть две сотни, получается три сотни. Записываем цифру 3 в разряде сотен нового числа:
Намного сложнее вычитать из чисел вида 100, 200, 300, 1000, 10000. То есть числа, у которых на конце нули. Чтобы выполнить вычитание, каждому разряду приходится занимать десятки/сотни/ тысячи у следующего разряда. Давайте посмотрим, как это происходит.
Пример 6. Вычесть из числа 200 число 84
В разряде единиц числа 200 содержится ноль единиц, а в разряде единиц числа 84 — четыре единицы. От нуля не вычесть четыре единицы, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:
Но в разряде десятков нет десятков, которые мы могли бы взять, поскольку там тоже ноль. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы должны взять для него одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню для разряда десятков:
Взятая одна сотня это десять десятков. От этих десяти десятков мы берём один десяток и отдаём его единицам. Этот взятый один десяток и прежние ноль единиц вместе образуют десять единиц. От десяти единиц можно вычесть четыре единицы, получится шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. Чтобы вычесть единицы мы обратились к разряду десятков за одним десятком, но на тот момент этот разряд был пуст. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы взяли одну сотню у разряда сотен. Эту одну сотню мы назвали «десять десятков». Один десяток мы отдали единицам. Значит на данный момент в разряде десятков содержатся не десять, а девять десятков. От девяти десятков можно вычесть восемь десятков, получится один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:
Теперь вычитаем сотни. Для разряда десятков мы брали у разряда сотен одну сотню. Значит сейчас в разряде сотен содержатся не две сотни, а одна. Поскольку в вычитаемом разряд сотен отсутствует, мы переносим эту одну сотню в разряд сотен нового числа:
Получили окончательный ответ 116.
Естественно, выполнять вычитание таким традиционным методом довольно сложно, особенно на первых порах. Поняв сам принцип вычитания, можно воспользоваться нестандартными способами.
Первый способ заключается в том, чтобы уменьшить число, у которого на конце нули на одну единицу. Далее из полученного результата вычесть вычитаемое и к полученной разности прибавить единицу, которую изначально вычли из уменьшаемого. Давайте решим предыдущий пример этим способом:
Уменьшаемое здесь это число 200. Уменьшим это число на единицу. Если от 200 вычесть 1 получится 199. Теперь в примере 200 − 84 вместо числа 200 записываем число 199 и решаем пример 199 − 84. А решение этого примера не составляет особого труда. Единицы вычтем из единиц, десятки из десятков, а сотню просто перенесем к новому числу, поскольку в числе 84 нет сотен:
Получили ответ 115. Теперь к этому ответу прибавляем единицу, которую мы изначально вычли из числа 200
Получили окончательный ответ 116.
Пример 7. Вычесть из числа 100000 число 91899
Вычтем из 100000 единицу, получим 99999
Теперь из 99999 вычитаем 91899
К полученному результату 8100 прибавим единицу, которую мы вычли из 100000
Получили окончательный ответ 8101.
В разряде единиц числа 653 содержится три единицы, а в разряде единиц числа 286 — шесть единиц. От трёх единиц не вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:
Взятый один десяток и три единицы вместе образуют тринадцать единиц. От тринадцати единиц можно вычесть шесть единиц, получится семь единиц. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. Раньше разряд десятков числа 653 содержал пять десятков, но мы взяли с него один десяток, и теперь в разряде десятков содержатся четыре десятка. Из четырех десятков не вычесть восемь десятков, поэтому берем одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню:
Взятая одна сотня и четыре десятка вместе образуют четырнадцать десятков. От четырнадцати десятков можно вычесть восемь десятков, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нового числа:
Теперь вычитаем сотни. Раньше разряд сотен числа 653 содержал шесть сотен, но мы взяли с него одну сотню, и теперь в разряде сотен содержатся пять сотен. Из пяти сотен можно вычесть две сотни, получается три сотни. Записываем цифру 3 в разряде сотен нового числа:
Намного сложнее вычитать из чисел вида 100, 200, 300, 1000, 10000. То есть числа, у которых на конце нули. Чтобы выполнить вычитание, каждому разряду приходится занимать десятки/сотни/ тысячи у следующего разряда. Давайте посмотрим, как это происходит.
Пример 6. Вычесть из числа 200 число 84
В разряде единиц числа 200 содержится ноль единиц, а в разряде единиц числа 84 — четыре единицы. От нуля не вычесть четыре единицы, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:
Но в разряде десятков нет десятков, которые мы могли бы взять, поскольку там тоже ноль. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы должны взять для него одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню для разряда десятков:
Взятая одна сотня это десять десятков. От этих десяти десятков мы берём один десяток и отдаём его единицам. Этот взятый один десяток и прежние ноль единиц вместе образуют десять единиц. От десяти единиц можно вычесть четыре единицы, получится шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:
Теперь вычитаем десятки. Чтобы вычесть единицы мы обратились к разряду десятков за одним десятком, но на тот момент этот разряд был пуст. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы взяли одну сотню у разряда сотен. Эту одну сотню мы назвали «десять десятков». Один десяток мы отдали единицам. Значит на данный момент в разряде десятков содержатся не десять, а девять десятков. От девяти десятков можно вычесть восемь десятков, получится один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:
Теперь вычитаем сотни. Для разряда десятков мы брали у разряда сотен одну сотню. Значит сейчас в разряде сотен содержатся не две сотни, а одна. Поскольку в вычитаемом разряд сотен отсутствует, мы переносим эту одну сотню в разряд сотен нового числа:
Получили окончательный ответ 116.
Естественно, выполнять вычитание таким традиционным методом довольно сложно, особенно на первых порах. Поняв сам принцип вычитания, можно воспользоваться нестандартными способами.
Первый способ заключается в том, чтобы уменьшить число, у которого на конце нули на одну единицу. Далее из полученного результата вычесть вычитаемое и к полученной разности прибавить единицу, которую изначально вычли из уменьшаемого. Давайте решим предыдущий пример этим способом:
Уменьшаемое здесь это число 200. Уменьшим это число на единицу. Если от 200 вычесть 1 получится 199. Теперь в примере 200 − 84 вместо числа 200 записываем число 199 и решаем пример 199 − 84. А решение этого примера не составляет особого труда. Единицы вычтем из единиц, десятки из десятков, а сотню просто перенесем к новому числу, поскольку в числе 84 нет сотен:
Получили ответ 115. Теперь к этому ответу прибавляем единицу, которую мы изначально вычли из числа 200
Получили окончательный ответ 116.
Пример 7. Вычесть из числа 100000 число 91899
Вычтем из 100000 единицу, получим 99999
Теперь из 99999 вычитаем 91899
К полученному результату 8100 прибавим единицу, которую мы вычли из 100000
Получили окончательный ответ 8101.
Сложение в столбик
Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сложить 61 и 23.
Сначала записываем первое число, а под ним второе число так, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем знаком сложения (+) по вертикали:
Теперь единицы первого числа складываем с единицами второго числа, а десятки первого числа складываем с десятками второго числа:
Получили 61 + 23 = 84.
Пример 2. Сложить 108 и 60
Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:
Теперь складываем единицы первого числа с единицами второго числа, десятки первого числа с десятками второго числа, сотни первого числа с сотнями второго числа. Но сотня есть только у первого числа 108. В этом случае цифра 1 из разряда сотен добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится»:
Видно, что мы снесли цифру 1 к нашему ответу.
Когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Наш пример вполне можно было записать и так:
Первая запись, где число 108 было наверху, более удобнее для вычисления. Человек вправе выбирать любую запись, но обязательно нужно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Другими словами, следующие записи будут неправильными:
Если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуюся перенести на следующий разряд.
Речь в данном случае идет о переполнении разряда, о котором мы говорили ранее. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.
Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:
Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 6+8=14. Получили число 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа. В таких случаях мы сначала вытаскиваем из 14 цифру, находящуюся в разряде единиц и записываем её в разряде единиц нашего ответа. В разряде единиц числа 14 располагается цифра 4. Записываем эту цифру в разряде единиц нашего ответа:
А куда девать цифру 1 из числа 14? Здесь начинается самое интересное. Эту единицу мы переносим на следующий разряд. Она будет добавлена к разряду десятков нашего ответа.
Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, плюс добавляем единицу, которая досталась нам от числа 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в разряде десятков нашего ответа. Поскольку это конец решения, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем цели
Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сложить 61 и 23.
Сначала записываем первое число, а под ним второе число так, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем знаком сложения (+) по вертикали:
Теперь единицы первого числа складываем с единицами второго числа, а десятки первого числа складываем с десятками второго числа:
Получили 61 + 23 = 84.
Пример 2. Сложить 108 и 60
Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:
Теперь складываем единицы первого числа с единицами второго числа, десятки первого числа с десятками второго числа, сотни первого числа с сотнями второго числа. Но сотня есть только у первого числа 108. В этом случае цифра 1 из разряда сотен добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится»:
Видно, что мы снесли цифру 1 к нашему ответу.
Когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Наш пример вполне можно было записать и так:
Первая запись, где число 108 было наверху, более удобнее для вычисления. Человек вправе выбирать любую запись, но обязательно нужно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Другими словами, следующие записи будут неправильными:
Если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуюся перенести на следующий разряд.
Речь в данном случае идет о переполнении разряда, о котором мы говорили ранее. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.
Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:
Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 6+8=14. Получили число 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа. В таких случаях мы сначала вытаскиваем из 14 цифру, находящуюся в разряде единиц и записываем её в разряде единиц нашего ответа. В разряде единиц числа 14 располагается цифра 4. Записываем эту цифру в разряде единиц нашего ответа:
Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, плюс добавляем единицу, которая досталась нам от числа 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в разряде десятков нашего ответа. Поскольку это конец решения, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем цели