Математика для чайников

[Денчик]

Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Решениями неравенства

являются все числа, которые меньше

. Граница

принадлежит множеству решений, поскольку неравенство

является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства

на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 5. Решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6x > 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

Решениями неравенства

являются все числа, которые больше 1 \ 6. Граница 1 \ 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство

является строгим.

Изобразим множество решений неравенства

на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

 

[Денчик]

Когда решений нет
Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6x > 2(3x + 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6x > 6x + 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6x − 6x > 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Получили неравенство 0x > 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0x > 2 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x > 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6x > 2(3x + 1).

Пример 2. Решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 3

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x < −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x < −8, то не имеет решений и исходное неравенство

.

Ответ: решений нет.

 

[Денчик]

Когда решений бесконечно много
Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

 

[Денчик]

Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 2. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 3. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 4. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 5. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 6. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 7. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 8. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 9. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 10. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 11. Решите неравенство:

Показать решение

 

[Денчик]

Системы линейных неравенств с одной переменной
Предварительные навыки

• Общие сведения о неравенствах

Содержание урока

• • Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
  • Когда решений нет
  • Задания для самостоятельного решения

Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Система

состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

Но дело в том, что неравенства x > 4 и x < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями как им захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.

Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.

Значит решениями системы

являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( 4 ; 9 )

Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.

Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:

Сначала указывают границы обоих неравенств:

На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x < 9

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы

. Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:

Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему

. Возьмем, например, число 6

Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8

Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.

Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:

 

[Денчик]

Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.

Пример 2. Решить систему неравенств

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.

Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.

Изобразим множество решений системы

на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:

На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17

На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы

. Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( 17 ; +∞ )

Пример 3. Решить систему неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

Получили систему

. На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы

x ∈ ( 6 ; + ∞ )

 

[Денчик]

Когда решений нет
Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить неравенство

Решим каждое неравенство по отдельности:

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.

Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:

На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система

А если не имеет решений приведённая равносильная система

, то не имеет решений и исходная система

Ответ: решений нет.

 

[Денчик]

Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 2. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 3. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 4. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 5. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 6. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 7. Решите неравенство:

Показать решение
Задание 8. Решите неравенство:

Показать решение

 

[Денчик]

@Артемий ультрамегаважная тема

Операции над множествами
Предварительные навыки

• Отрицательные числа
• Что такое множество?
• Общие сведения о неравенствах
• Системы линейных неравенств с одной переменной

Содержание урока

• Пересечение множеств
• Объединение множеств
• Решение неравенств, содержащих знак ≠
• Решение совокупностей неравенств
• Задания для самостоятельного решения

Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = { Том,
Фред,
Макс,
Джорж }
Друзья Майкла = { Лео,
Том,
Фред,
Эван }
Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда:

Общие друзья Джона и Майкла = { Том, Фред }
В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A, множество друзей Майкла — через букву B, а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C:

A = { Том, Фред, Макс, Джордж }

B = { Лео, Том, Фред, Эван }

C = { Том, Фред }

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

A ∩ B = C

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

Или еще проще:

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A, а множество друзей Майкла через букву B

A = { Макс, Джордж }

B = { Лео, Эван }

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

A ∩ B = ∅

 

[Денчик]

Множества. Операции над множествами.
Отображение множеств. Мощность множества

Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более 150 статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Впрочем, буду надеяться, что не опоздал – ведь многие студенты начинают вникать в лекции только к государственным экзаменам =)

Вузовский курс вышмата традиционно зиждется на трёх китах:

– аналитической геометрии;

– математическом анализе (пределы, производные и т. д.)

– и, наконец, сезон 2015 / 16 учебного года открывается уроками Алгебра для чайников, Элементы математической логики, на которых мы разберём основы раздела, а также познакомимся с базовыми математическими понятиями и распространёнными обозначениями. Надо сказать, что в других статьях я не злоупотребляю «закорючками»

, однако то лишь стиль, и, конечно же, их нужно узнавать в любом состоянии =). Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. Но через много лет я таки создал Практический и немного теоретический pdf-курс высшей алгебры, после которого вам будет гораздо легче воспринимать информацию «классических» учебников.

Поехали:


Множество. Примеры множеств
Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.

В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т. д.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами

(как вариант, с подстрочными индексами:

и т. п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например:

– множество букв русского алфавита;

– множество натуральных чисел;

ну что же, пришла пора немного познакомиться:

– множество студентов в 1-м ряду

…Я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)

 

[Денчик]

Блин, он не прогружает картинки

попроси чтобы открыли, тут очень доступно

Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества